Родился 9 декабря 1968 г. в Москве. В школе с друзьями организовал вокально-инструментальный ансамбль. Позже, в ПТУ, продолжал заниматься музыкой. В 1986–1988 гг. служил в рядах Вооруженных сил. Службу проходил в Афганистане (командир ПТУРС, сержант). После армии работал в торговле, занимался мелким бизнесом.
В театр пришел в 1997 г. В 2000 г. поступил на заочное отделение актерского факультета Ярославского Государственного Театрального Института. С годами увлечение музыкой для Алексея не прошло. Уже давно в театре зреет идея создания своего ансамбля. Алексей Зеленков вместе с Аркадием Авериным, Валерией Поляковой и Ириной Андреевой – будущими членами этой группы – проводят большинство театральных капустников и поздравлений.
 Алексей женат на художнике по свету Елене Зеленковой, растит сына и дочь.

 Михаил Щепенко об Алексее Зеленкове:
 «Это актер особой судьбы и особого плана. Особенность его в том, что прошел он, можно сказать, трагический жизненный путь. За его спиной и Афганистан, и личные драмы… Однако это уже в прошлом, а сегодня Алексей все более последовательно обретает свое неповторимое творческое лицо. Это необычный букет свойств: сдержанность сценического поведения соседс-твует с внезапной открытостью, а манера жизненного несколько замкнуто-выжидательного поведения вдруг поворачивается несомненной чистосердечностью и добротой. Его нелегкий жизненный опыт не погасил в душе детскости и чистоты. Это очень дорогие качества, которые сыграть невозможно, их надо иметь. Они неуловимо передаются образам, создаваемым актером. Все это делает его часто незаменимой и яркой краской в художественной палитре театра».